Oran ve Orantı

Oran:

Aynı türden (birimleri aynı) iki çokluğun birbirine bölümüne oran denir.

a,b ∈ R ve b≠0 olmak üzere a:b veya daha çok kullanılan şekliyle \( \frac{a}{b} \) şeklindeki ifadelere a’ nın b’ ye oranı denir.

Orantı:

İki veya daha fazla oranın birbirlerine eşit olmasına orantı denir.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \)eşitliği bir orantı belirtir.

k sabit bir sayı olmak üzere \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \) = k eşitliğindeki k sayısına orantı sabiti denir.

Orantıyı a : b = c : d şeklinde yazarsak b ve c ye içler, a ve d ye dışlar denir.

Örn: Bir  kümeste 4 horoz, 15 tavuk olduğuna göre horozların sayısının tavukların sayısına oranı \( \frac{4}{15} \) tür.

Orantının Özellikleri:

  • İçler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \) ⇒   a.d = b.c

  • İçler ve dışlar kendi aralarında yer değiştirebilir.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \) ⇒ \( \frac{d}{b}=\frac{c}{a} \)

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \) ⇒ \( \frac{a}{c}=\frac{b}{d} \)

  • Oranların paylarının toplamı paydalarının toplamına bölünürse orantı sabiti değişmez.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k \) ⇒ \( \frac{a+c}{b+d}=k \)

Aynı özellik oranlar, 0 dan farklı sayılarla genişletilirse de geçerlidir.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k \) ⇒ \( \frac{ax+cy}{bx+dy}=k \)

  • Oranların çarpımı orantı sabitinin karesine eşittir.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k \) ⇒ \( \frac{a.c}{bd}=k^2 \)

Örn: 

\( \frac{a}{b}=\frac{3}{4}\)  ve  b-a = 4   olduğuna göre a+b =?

Çözüm: \( \frac{a}{b}=\frac{3}{4}\) ⇒ a=3k , b= 4k     b-a = 4k – 3k = k=4

a+b= 3k+4k =7k = 7.4 =28

Örn:

\( \frac{a+2b}{a+3b}=\frac{1}{2}\) olduğuna göre \( \frac{a}{b}=?\) 

Çözüm: \( \frac{a+2b}{a+3b}=\frac{1}{2}\) içler dışlar çarpımı yaparsak;  

2a+4b=a+3b

2a-a=3b-4b

a=-b her iki tarafı da b ile bölersek \( \frac{a}{b}=-1\)

Örn: 

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2\) olduğuna göre \( \frac{a.c.f}{b.d.e}=?\)

Çözüm: \( \frac{a.c.f}{b.d.e}= \frac{a}{b}.\frac{c}{d}.\frac{f}{e}= 2.2.\frac{1}{2}=2\)

Örn: 

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{3} \) olduğuna göre \( \frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=? \)

Çözüm: \( \frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{4}{9} \)

 \( \frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{4}{9} \)

Örn: 

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{2}\) , a-2c+3e=15 , b+3f=6 olduğuna göre d=?

Çözüm: \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{2}\) eşitliğindeki 1. kesri 1 ile 2. kesri -2 ile 3. kesri de 3 ile genişleterek kesirlerin paylarını toplayıp paya, paydalarını toplayıp paydaya yazarsak orantı sabiti değişmez.

\( \frac{a-2c+3e}{b-2d+3f}=\frac{1}{2}\) soruda verilen a-2c+3e=15 , b+3f=6 ifadelerini yerlerine yazarsak \( \frac{15}{6-2d}=\frac{1}{2}\) olur. İçler dışlar çarpımı yaparsak 

6-2d=30 ,  -2d = 24 , d=-12 bulunur.

Doğru Orantı:

İki çokluktan biri artarken diğeri de artıyor, biri azalırken diğeri de azalıyorsa ve bu artma veya azalma belli bir oranda oluyorsa bu iki çokluğa doğru orantılı çokluklar denir. Örneğin sabit hızla hareket eden bir otomobilin aldığı yol zaman ile doğru orantılıdır. Zaman arttıkça alınan yol da artar.

Örn:

2a+1 ile b-4 sayıları doğru orantılı iki sayıdır. a=1 iken b=2 olduğuna göre a=4 iken b=?

Çözüm: \( \frac{2a+1}{b-4}=k\)⇒ a=1, b=2 için \( k=\frac{2.1+1}{2-4}),  k=\frac{3}{-2}\) olur.

\( \frac{2a+1}{b-4}=\frac{3}{-2}\) ⇒ a=4 için \( \frac{2.4+1}{b-4}=\frac{3}{-2}\) içler dışlar çarpımı yaparsak 3b-12=-18, 3b=-6,  b=-2

Ters Orantı:

İki çokluktan biri artarken diğeri azalıyor; biri azalırken diğeri artıyor ve bu artma yada azalmalar belli bir oranda oluyorsa bu iki çokluğa Ters Orantılı çokluklar denir.

Örneğin düz bir yolda sabit hızla hareket eden bir otomobilin aldığı yol ile deposundaki benzin miktarı ters orantılıdır. Otomobilin aldığı yol arttıkça depodaki benzin miktarı azalır.

Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir. a ve b ters orantılı ise   a.b=k şeklinde gösterilir

Örn:

2a+1 ve b-4 sayıları ters orantılı sayılardır. a=1 iken b=2 oluyorsa a=4 iken b kaç olur?

Çözüm: (2a+1).(b-4)=k    , a=1 , b=2  ⇒  (2.1+1).(2-4)=3.-2=-6 ,  k=-6

a=4 ⇒ (2.4+1)(b-4)=-6   9.(b-4)=-6    9b-36=-6   9b=30   \( b=\frac{30}{9} =\frac{10}{3}\)

Örn:

a ve b sayıları sırasıyla 2 ve 3 ile doğru, c sayısı ise 4 ile ters orantılıdır. a+b+c=42 olduğuna göre a,b ve c sayılarını bulunuz.

Çözüm: \( \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=4.c=k\)⇒ a=2k  b=3k  c=\(\frac{k}{4}\) 

a+b+c=2k+3k+\(\frac{k}{4}\)=42 \(\frac{21k}{4}\)=42⇒k=8

a=2k =2.8=16, b=3k=3.8=24, c=\(\frac{k}{4}=\frac{8}{4}\)=2

Altın Oran: 

Bir doğru parçasını ikiye bölerek elde edilen iki doğru parçasından büyüğün uzunluğunun küçüğün uzunluğuna oranı ile bütünün uzunluğunun büyük parçanın uzunluğuna oranına eşit olmasına Altın Oran denir. Genellikle \(\varphi\) ile gösterilir.  \(\varphi≅\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,618\)

Altın oran, doğada, sanatta, tasarımda canlı yada cansız bazı varlıkların boyutlarında görülebildiği için ilginçtir. Aşağıda bu durumla ilgili sadece birkaç örnek verilmiştir.

  • İdeal ölçülerde bir insan yüzünün boyunun enine oranı 1,618 dir
  • Ayçiçeğinin merkezinden dışa, sağdan sola tane sayısını soldan sağa tane sayısına oranı 1,618 dir.
  • Dünyanın güneç etrafındaki dönüş süresinin(1 yıl) Venüs’ün güneş etrafındaki dönüş süresine(1 Venüs yılı) oranı 1,618 dir
  • Mısır piramitlerinin tabanın boyuna oranı 1,618 dir.
  • Leonardo da Vinci’nin ünlü tablosu Mona Lisa’nın boyunun enine oranı 1,618 dir.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir